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理学]大学物理学-第4章守恒定律ppt

发布时间:2019-06-19 01:38 来源:未知 编辑:admin

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  2? 动量守恒定律 ?? 当系统所受合外力为零时,即 时,系统的总动量保持不变, 即? 恒矢量 3? 动能定理??? ?? 功????????????????? ? 直角坐标系中????????? ? 动能定理 ?? 质点????????????? ? 质点系???????????? ? 4? 保守力、势能 保守力:作功只与始末位置有关,与经历的路径无关的力 ?? 势能 ????? 重力势能 ???????? ?地面为势能零点 ? 弹簧的弹性势能??????? 弹簧原长处为势能 零点 万有引力势能 ???? ?与相距无限远处为势能零点 5? 质点系功能原理,机械能守恒定律 ? 机械能守恒定律 ? 当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时,即 时,质点系的总机械能是守恒的。 或 6.力矩、??角动量 ?????????????????????? ,? ????力对轴的力矩大小????? 质点的角动量????????? ??? 刚体绕定轴转动的角动量??? ??? 角动量定理? ????????? ?? 角动量守恒??? M = 0?????? 7.对称性与守恒定律 对称性与守恒定律密切相关,平移对称性对应于动量守恒定律;转动对称性对应于角动量守恒定律;时间对称性对应于能量守恒定律。 习 题 4-1 如图所示,质量m=2.0kg的质点,受合力F =12t i的作用,沿ox轴作直线s这段时间内,求合力F的冲量I、质点的末速度。 习题4-1图 习题4-2图 4-2 一小球在弹簧的作用下振动(如图所示),弹力F=-kx,而位移x=Acos?t,其中k、A、?都是常量。求在t=0到t=?/2?的时间间隔内弹力施于小球的冲量。 4-3一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。如图所示,已知摆球质量为,圆半径为,摆球速率为,当摆球在轨道上运动一周时,求作用在摆球上重力冲量的大小。 ? ? ? ? ??????? ? 习题4-3图 习题4-4图 4-4 一个原来静止在光滑水平面上的物体,突然分裂为和三块,且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动。各运动方向之间的夹角如图所示,则三块物体的质量之比 为多少????????????????? 4-5 、两船在平静的湖面上平行逆向航行,当两船擦肩相遇时,两船各自向对方平稳地传递的 重物,结果是A船停了下来,而船B以 的速度继续向前驶去。、两船原有质量分别为 和 ,求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力) 4-6???质点在力 (SI制)作用下沿图示路径运动。则力在路径oa、ab、ob、ocbo上的功分别是多少? 习题4-6 b(3,2) o c a x y 4-7 一根特殊弹簧,在伸长 米时,其弹力 为 牛顿。 (1)试求把弹簧从 米拉长到 米时,外力克服弹簧力所作的总功。 (2)将弹簧的一端固定,在其另一端拴一质量为千克的静止物体,试求弹簧从 米回到 米时物体的速率。(不计重力) 4-8 一个人从10m深的井中,把10kg的水匀速地提上来。由于桶漏水,桶每升高1m漏0. 2kg的水,问把水从井中提到井口,人所作的功 4-9 质量为m的子弹,以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱,子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中,同时砂箱向前运动的距离为S,此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动,求子弹受到的平均阻力、砂箱与子弹系统损失的机械能。 4-10 小船质量为100kg,船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船头走到船尾时,船将移动多少距离?假定水的阻力不计。 4-11 质量为 的物体,放在质量为 、倾角为的三角形木块顶端,任其自由下滑如图所示。已知三角形顶端离地面高 ,若不计一切摩擦,由静止下滑到底端时,木块的速度大小。 习题4-11图 4-12 图示一长为L的匀质链条放在光滑的水平桌面上,今使其一端悬下长度为L/2,然后由静止释放,任其自由下滑,求当链条另一端滑离桌边时,链条的速度大小。 ? 习题4-12图 4-13 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力,并随它们之间的距离 按 的规律而变化,其中 为常量,试求两粒子相距为 时的势能。(设力为零的地方势能为零) 4-14 一质量为 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙水平面上作半径为 的圆周运动。设质点的最初速率是 。当它运动一周时,其速率为 。求:(1)摩擦力作的功;(2)滑动摩擦因数;(3)在静止以前质点运动了多少圈? 4-15 质量为 ,速率为 的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒子A发生二维完全弹性碰撞,碰撞后粒子的速率为 ,求:(1)粒子的A速率及相对粒子原来速度方向的偏角;(2)粒子A的偏转角。 4-16 有两个带电粒子,它们的质量均为 ,电荷均为 。其中一个处于静止,另一个以初速 由无限远处向其运动。问这两个粒子最接近的距离是多少?在这瞬时,每个粒子的速率是多少?你能知道这两个粒子的速度将如何变化吗?(已知库仑定律为 ) 4-18 如图所示,物体1和2的质量分别为m1与m2,滑轮的转动惯量为J,半径为r。 (1)如物体2与桌面间的摩擦系数为 ,求系统的加速度 及绳中的张力T1和T2(设绳子与滑轮间无相对滑动,滑轮与转轴无摩擦); (2)如物体2与桌面间为光滑接触,求系统的加速度 及绳中的张力T1和T2。 4-19 质量为M1和M2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r,两轮的转动惯量分别为J1和J2,轮与轴承间的摩擦力略去不计,绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 设有一转动惯量为 的刚体绕定轴转动,在合外力矩M的作用下,在时间 内,其角速度由 变 为,由式(4-33)积分得 ??????? (4-34a) 式中 是外力矩与作用时间的乘积,叫做力矩对给定轴的冲量矩,又叫角冲量。 如果物体在转动过程中,其内部各质点相对于转轴的位置发生了变化,那么物体的转动 惯量J也必然随时间变化,若在时间 内,转动惯量由 变为 ,则式(4-34a)中的 应改为 应改为 。于是下面的关系式是成立的,即 ???????? (4-34b) 式(4-34)表明,当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量,这一结论叫做角动量定理。它与质点的角动量定理在形式上很相似。 5.刚体定轴转动的角动量守恒定律 当作用在绕定轴转动的刚体上的合外力矩等于零时,由角动量定理也可导出角动量守恒定律。 由式(4-34)可以看出,当合外力矩为零时,可得 ????????? (4-35) 这就是说,如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变。这个结论叫做角动量守恒定律。 必须指出,上面在得出角动量守恒定律的过程中受到刚体、定轴等条件的限制,但它的适用范围却远超出这些限制。 有许多现象都可以用角动量守恒来说明。 ?? 有一人坐在能绕竖直轴转动的凳子上(摩擦忽略不计)。开始时人平举两臂,两手各握一哑铃,并使人与凳一道以一定的角速度旋转。由于在水平面内没有外力矩作用,人与凳的角动量之和应当保持不变,因此,当人放下两臂,使转动惯量变小时,人与凳的转动角速度就要加快。又如冰上芭蕾演员表演时,先把两臂张开,并绕通过足尖的垂直转轴以角速度旋转,然后迅速把两臂和腿朝身边靠拢,这时由于转动量惯变小,根据角动量守恒定律,角速度必增大,因而旋转更快。跳水运动员常在空中先把手臂和腿蜷缩起来,以减小转动惯量而增大转动角速度,在快到水面时,则又把手、腿伸直、以增大转动惯量而减小转动角速度,并以一定的方向落入水中。 最后还应再次指出,前面关于角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律,都是在不同的理想化条件(如质点、刚体……)下,用经典的牛顿力学原理“推证”出来的。但它们的使用范围,却远远超出原有条件的限制。它们不仅适用于牛顿力学所研究的宏观、低速(远小于光速)领域,而且通过相应的扩展和修正后也适用于牛顿力学失效的微观、高速(接近光速)的领域,即量子力学和相对论之中。这就充分说明,上述三条守恒定律不但比牛顿力学理论更基本、更普遍,而且也是近代物理理论的基础,是更为普适的物理定律。 例 为使运行中的飞船停止绕其中心轴的转动,可在飞船的侧面对称地安装两个切向控 制喷管,利用喷管高速喷射气体来制止旋转。若飞船绕其中心轴的转动惯量 ,旋转的角速度 ,喷口与轴线之间的距离 ;喷气以恒定的流量 和速率 从喷口喷出,问为使该飞船停止旋转,喷气应喷射多长时间? ? ? ? ? 图4-28 分析:将飞船与喷出的气体作为研究系统,在喷气过程中,系统不受外力矩作用,其角动量守恒。在列出方程时应注意:(1)由于喷气质量远小于飞船质量,喷气前、后系统的角动量近似为飞船的角动量Jw;(2)喷气过程中气流速率u远大于飞船侧面的线速度wr,因此,整个喷气过程中,气流相对于空间的速率仍可近似看作是u,这样,排出气体的总角动量 。经上述处理后, 可使问题大大简化。 解:取飞船和喷出的气体为系统,根据角动量守恒定律,有 (1) 因喷气的流量恒定,故有 (2) 由式(1)、(2)可得喷气的喷射时间为 例 一质量为 的小孩,站在一半径为 、转动惯量为 的静止水平转台的边缘上,此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动,转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以 的速率沿转台边缘行走,问转台的角速率有多大? 解:设转台相对地的角速度为 ,人相对转台的角速度为 。由相对角速度的关系,人相对地面的角速度为 (1) 由于系统初始是静止的,根据系统的角动量守恒定律,有 (2) 式中J0、J1 = mR2分别为转台、人对转台中心轴的转动惯量。由式(1)、(2)可得转台的角速度为 式中负号表示转台转动地方向与人对地面的转动方向相反。 *4.5 对称性与守恒定律 Symmetry and conservation law 对称性普遍存在于自然界中,对称现象是物质世界某种本质和内在规律的体现。诺贝尔物理奖获得者斯蒂芬.温伯格在他的“终极理论之梦”一文中写到:“物理学在20世纪取得了令人惊讶的成功,它改变了我们对空间和时间、存在和认识的看法,也改变了我们描述自然界的基本语言。在新世纪到来之际,我们已拥有一个对宇宙的崭新看法,在这个新的宇宙观中,物质已失去它原来的中心地位,取而代之的是自然界的对称性。引起这场思想革命的原动力,是探索自然界的终极规律,即对我们的问题——为什么世界是这个样子——的最终回答”。在现代物理学中,对称性是一个很深刻的问题。物理学以研究物质世界规律为对象,研究物理学中的对称性对于探索物质世界有着十分重要的意义。 *4.5.1 宏观物理世界中的对称性 In macroscopic physical world symmetry 1.空间对称性 空间对称操作包括空间反射操作,空间转动操作和空间平移操作,它们都是通过使事物的空间位置(坐标)发生数量上或符号上的变化而完成对称操作的。下面分别给予介绍: a:左右对称 首先我们给出左右对称操作的定义:“设x轴垂直于镜面,原点就在镜面上,将一半图形的坐标值x变成-x,就得到了另一半图形。这x坐标的变号就叫做左右对称操作。”由于它与人们照镜子这一反射后成虚像的现象相同,所以又叫镜像对称操作,或空间反射操作。最直观的例子就是人体对称结构中的所有左右部分,都可以经过平面镜成像左右对称操作而互换。 再如物理中的一个无阻尼的单摆的摆动过程也是左右对称的。不必求解就可以知道,向右摆动的高度与向左摆动的高度一定相等,等等。可以证明,对应于左右对称性的是量子力学中的宇称守恒定律。 b:转动对称 转动对称操作的定义为:“如果使一个物体绕某个固定轴转过一个角度后,它又和原来完全一样,我们就称这个为转动对称操作,这种对称叫转动对称。”由于这种对称常与固定轴的空间位置有关,故又称为轴对称。例如,对一个球体而言,它对通过其球心的任意方向的固定轴都具有对称性,这是一种最高级别和程度的转动对称,即球对称,也叫做各向同性。可以证明,对应于转动对称性的是角动量守恒定律。 c:空间平移对称 空间平移对称操作的定义为“如果使一个形体发生平移后它仍保持原形状,我们就说该形体具有空间平移对称性。”物理学中的空间平移对称性是指:“一个物理事件,如果该物理事件所涉及到的全部仪器、设备、操作方式及与该事件有关的一切内外部因素都不予改变,仅仅将其平移到另一空间位置处,那么这个事件可以以完全相同的方式再现。”如任意物理实验,我们可以在不同的地点以完全相同的方式进行(内外部因素全不改变),而得到完全相同的结果,可以证明平移对称性对应于动量守恒定律。 2.时间对称性 时间对称性操作包括时间反演操作和时间平移对称操作。它们是通过使与事件相关联的 时间量值和符号的改变而完成对称操作的。 a:时间平移对称性 至今为止,人们所做过的物理实验的结果均未发现与物理实验的开始时刻有任何关系。同一个物理实验,在其他因素都不变的情况下,今天做或明天做并不会引起实验结果的不同。这一客观事实充分证明时间对称性的存在。可以证明,对应于时间对称性的是能量守恒定律。 b:时间反演对称性 时间反演操作就是把物理过程中的时间参数变号,即把t换为-t,变号后对物理规律的结果有不同的影响。 如以上谈的是属于空间,时间坐标变换下的时空对称性,时空坐标变换之外的另一类重要的对称性是所谓的内部对称性,如电磁学中的规范对称性就属这一类,内部对称性在研究微观物理世界的运动规律中起特别重要的作用。 *4.5.2微观物理世界中的对称性 In microscopic physical world symmetry 微观物理世界中也存在着各种各样的对称性,它们不象宏观世界中的一些对称性那么直观。微观世界中的对称性内容更丰富,在微观世界中关于对称性的研究也更为重要。对于量子力学描述的微观系统所具有的对称性的分析,也可以从系统的运动规律得出若干推论。 在微观粒子物理学中也有空间平移不变性,时间平移不变性等。除了这些对称性外,还有其它对称性。 *4.5.3对称性与守恒律 Symmetry and Conservation 对称性与守恒律密切相关,1916年诺特提出一个著名定理,作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律,即有一个守恒量,也就是说一个对称原理必产生一个守恒定律,它将对称和守恒这两个重要概念是紧密地联系在一起的。诺特定理引导物理学家去寻找研究新领域中的守恒定律和守恒量,由此确定其中的对称性,从而获得作用量的形式和基本定律;反过来,如果知道了使一个给定的作用量保持的对称变换,从而也就可以知道相应的守恒定律和守恒量,这样使得物理学的基础研究有法可循而变得富有成效。 *4.6综合训练 test 例 一质量为1.12kg,长为1.0m的均匀细棒,支点在棒的上端点,开始时棒自由悬挂。以100N的力打击它的下端点,打击时间为0.02S。(1)若打击前棒是静止的,求打击时其角动量的变化;(2)棒的最大偏转角。 解:(1)在瞬间打击过程中,由刚体的角动量定理得 (1) (2)在棒的转动过程中, 取棒和地球为一系统, 并选O处为重力势能零点。 在转动过程中,系统的 机械能守恒,即 (2) 图2-29 由式(1)、(2)可得棒的偏转角度为 例 我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星,其近地点为 、远地点为 。 试计算卫星在近地点和远地点的速率。(设地球半径为 ) 解:由于卫星在近地点和远地点处的速度方向与椭圆径矢垂直,因此,由角动量守恒定律有 ????????? ( 1) 又因卫星与地球系统的机械能守恒,故有 ???????? (2) 式中G为引力常量,mE和m分别为地球和卫星质量,r1和r2是卫星在近地点和远地点时离地球中心的距离。由式(1)、(2)可解得卫星在近地点和远地点的速率分别为 例? 图示一质量为 ,长为 的均匀细棒,可以在水平面内绕通过其中心的竖直轴 转动,开始时棒静止,今有一质量为的小球 ,以水平速度 与棒的一端垂直相碰,设碰撞是完全弹性碰撞。求碰撞后小球弹回的速率和棒的角速度。 解:对由球和棒所组成的系统,在小球与棒碰撞的过程中,对轴 的角动量守恒。设碰撞后小球以速率 弹回,棒以角速度 转动,由系统碰撞前后的角动量守恒。 又因为系统作完全弹性碰撞,机械能守恒,则 图4-30 因为?? 解得?? 例?劲度系数为的轻弹簧竖直固定在地面上,在弹簧上放一质量为的平板,处于静平衡状态。如图所示,有一质量也为的油泥从平板上高处自由下落,与平板作完全非弹性碰撞,求碰撞后弹簧又被压缩的最大距离为多少? 解? 现将这整个过程分为:油泥自由下落、油泥与平板碰撞和油泥平板压缩弹簧三个过程进行讨论,并且对每一过程划分合适的系统,审定有关条件,运用相应的规律逐一求解。 油泥自由下落过程: 油泥和地球组成的系统,只有保守 内力作功,系统机械能守恒, 则下落到平板时油泥速率为 ,有 ? (1) 图4-31 油泥与平板相碰撞过程: 油泥和平板组成的系统动量守恒,则有 所以,油泥和平板相碰后共同具有速率 ? (2) 油泥和平板压缩弹簧过程: 在这个过程中,油泥、平板、弹簧和地球组成的系统,只有保守内力作功,系统的机械能守恒,即 若以弹簧自然长度处为弹性势能零点,以平板与弹簧处于静平衡位置为重力势能零点,则有(如图所示) 所以???? (3) 式中 为弹簧再次压缩的最大距离,式中 , 将 值,式(2)代入式(3)得 小结: ??? 我们将上述的解题过程可归纳为:“明过程,选系统,审条件,用规律”。 本章小结: 本章重点是掌握动量、功和能、角动量等概念及其物理规律,并掌握这些规律的应用条件和方法。本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性力学问题的分析求解。 1? 动量定理 ?? 质点??????????????????? ?? 质点系??????????????? ? 或?????????????????????? 例 以质量为的弹丸,穿过如图4-18所示的摆锤后,速率由 减少到 。已知摆锤的质量为 ,摆线长度为 ,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸的速度的最小值应为多少? 解:取弹丸与摆锤所成系统。由水平方向的动量守恒定律, 有???????? ?????? (1) 为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高时,摆线中的张力 ,则 ???????? ?????? (2) 式中为摆锤在圆周最高点的运动速率。 又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有 ??????? ?????? (3) 解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为 图4-18 例 一个电子和一个原来静止的氢原子发生对心弹性碰撞。试问电子的动能中传递给氢原子的能量的百分数。(已知氢原子质量约为电子质量的1840倍) 解: 以EH-表示氢原子被碰撞后的动能,Ee表示电子的初动能,则 ????????? (1) 由于粒子作对心弹性碰撞,在碰撞过程中系统同时满足动量守恒和机械能守恒定律,故有 ????????? (2) (3) 由题意知 ,解上述三式可得 ? ? ? ? 4.4 角动量守恒 conservation 4.4.1 力矩 质点的角动量及角动量守恒定律 Moment of force particle and angle law of conservation of momentum 1.力矩 图4-19 ?力矩又称为转矩,是描述作用力对物体所产生的转动效果的物理量,其定义式为 M=r×F (4-23) 这里,r是由转轴指向力作用点的位矢。 图4-20 力矩是一个矢量, 的方向垂直于与 所构成的平面,也可由上图所示的右手法则确定:把右手拇指伸直,其余四指弯曲,弯曲的方向是由 径矢通过小于180o的角 转向力 的方向,这时拇指所指的方向就是力矩的方向。力矩矢量 的方向垂直于 和矢量所组成的平面。 在定轴转动中,由于平行于转轴方向的外力对刚体转动不起作用,因此必须将作用在刚体上的外力分解:平行于转动平面的力Fl和垂直于转动平面的力F2。设转动平面内,作用力的分力与位矢的夹角为θ,则该力对转轴的力矩的大小为 M=F1rsinθ; 式中d=rsinθ是力的作用点到转轴的垂直距离,称为力臂。由图4-20可知,在定轴转动中,刚体所受力矩的方向总是与转轴平行,因此有关力矩的计算可以按标量处理。 在国际单位制中,力矩的单位是N.m。 ? 2.质点的角动量定理和角动量守恒定律 ? (1).质点的角动量 图4-21 如图4-21所示,设有一个质量为 的质点位于直角坐标系中点A,该点相对原点 的位矢为 ,并具有速度 (即动量为 )。我们定义,质点 对原点 的角动量为 ????????? (4-24) 质点的角动量 是一个矢量,它的方向垂直于 和 的平面,并遵守右手法则:右手拇指伸直,当四指由经小于180o的角 转向 (或) 时,拇指的指向就是 的方向。 至于质点角动量 的值,由矢量的矢积法则知 ????????? 式中 为 与 (或 )之间的夹角。 ????????? 应当指出,质点的角动量与位矢 和动量 有关的,也就是与参考点 的选择在关。因此在讲述质点的角动量时,必须指明是对哪一点的角动量。 若质点在半径为 的圆周上运动,在某一时刻,质点位于点A,速度为 。如以圆心 为参考点(图4-22),那么 与 (或 )总是相互垂直的。于是质点对圆心 的角动量的大小为 ????????? (4-25a) 因为,上式亦可写成 ????????? (4-25b) 至于 的方向应平行于过圆心且垂直于运动平面Z轴,与的方向 相同。 图4-22 (2). 质点的角动量定理 设质量为的M质点,在合力F作用下,其运动方程为 由于质点对参考点 的位矢为 ,故以 叉乘上式两边,有 ??????? (4-26) 考虑到 而且 故式(4-26)可写成 式中称为合力F对参考点 的合力矩。于是上式为 ????????? (4-27) 上式表明,作用于质点的合力对参考点的力矩,等于质点对该点 的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律 形式上是相似的, 只是用M代替F了,用L代替P了。 上式还可写成 为力矩 与作用时间 的乘积,叫做冲量矩。上式取积分有 ????????? (4-28) 式中 和 分别为质点在时刻 和 对参考点的角动量 ,为质点在 - 时间间隔-内对参考点 所受的冲量矩。因此,上式的物理意义是:对同一参考点 ,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。这就是质点的角动量定理。 (3).质点的角动量守恒定律 由式(4-27)可以看出,若质点所受合力矩为零,即 ,则有 恒矢量????????? (4-29) 上式表明,当质点所受对参考点 的合力矩为零时,质点对该参考点 的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。 ??? 应当注意,质点的角动量守恒的条件是合力矩 。这可能有两种情况:一种是合力 ;另一种是合力虽不为零,但合力通过参考点 ,致使合力矩为零。质点作匀速有心力,故其力矩为零,所以质点作匀速率 圆周运动时,它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此,只要作用于质点的力是有心力,有心力对力心的力矩总是零,所以,在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆,太阳位于两焦点之一,太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力,因此如以太阳为参考点O,则行星的角动量是守恒的。在国际单位制中,角动量的单位为 。 ? *4.4.2 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1.刚体的定轴转动 ? 刚体的运动可分为平动和转动两种,而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同,或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线,则刚体的这种运动叫做平动。因此,对刚体平动的研究,可归结为对质点的研究,通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。当刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动时,这种运动叫转动,(图4-23所示)这条直线叫转轴。 如果转轴的位置或方向是随时间改变的,这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置或方向是固定不动,这种转轴为固定转轴,此时刚体的运动叫做刚体的定轴转动。 一般刚体的运动可看成是平动和转动的合成。 ? 图4-23 ?2.刚体转动的角速度和角加速度 ? 如图4-24所示,有一刚体绕固定轴 轴转动。刚体上各点都绕固定轴轴作圆周运动。为描述刚体绕定轴的转动,我们在刚体内选取一个垂直于轴 的平面作为参考平面,并在此平面上取一参考线,且把这参考线作为坐标轴 ,把转轴与平面的交点作为原点 ,如图所示,这样,刚体的方位可由原点 到参考平面上的任一点 的径矢 与 轴的夹角 确定,角 也叫角坐标。当刚体绕固定轴 轴转动时,角坐标 要随时间t改变。也就是说,角坐标是时间的函数,即 。 图4-24 刚体绕固定轴 转动有两种情形,从上向下看,不是顺时针转动就是逆时针转动。因此,为区别这两种转动,我们规定:当径矢 从 轴开始沿逆时针方向转动时,角坐标 为正;当径矢 从 轴开始沿顺时针方向转动时,角坐标 为负。按照这个规定,转动正方向为逆时针转向。于是对于绕定轴转动的刚体,可由角坐标 的正负来表示其方位。 假设经过时间间隔 ,刚体上点 的角坐标为 。 为刚体在时间 内的角位移。于是,刚体对转轴的角速度为??? ??????? ???? ???? (4-30) 按照上面关于角坐标 正、负的规定,如 , ,这时刚体绕定轴作逆时针转动,如 这时刚体绕定轴作顺时针转动。下面图4-25是两个绕定轴转动的相同的圆盘,它们的角速度 大小相等,但转动方向相反,轮A逆时针转动,轮B顺时针转动 这表明,角速度是一个有方向的量,应当指出,只有刚体在绕定轴转动的情况下,其转动方向才可用角速度的正负来表示,在一般情况下,需用角速度矢量来表示。 图4-25 关于角速度 的方向可由右手法则确定;如上面右图所示,把右手的拇指伸直,其余四指弯曲,使弯曲的方向与刚体转动方向一致,这时拇指所指的方向就是角速度的方向。角速度 的单位为 。 刚体绕定轴转动时,如果其角速度发生了变化,刚体就具有了角加速度,设在时刻 ,角速度为 ,在时刻 ,角速度为 ,则在时间间隔 内,此刚体角速度的增量为 。当 趋近于零时, 趋近于某一极限值,它叫做瞬时角加速度,简称角加速度,即 ?????? ? (4-31) 对于绕定轴转动的刚体,角加速度 的方向也可由其正负来表示。在如图4-26所示的情况下,角速度 的 方向与 的方向相同, 且 , 那么 ,为正值,刚体 作加速转动;在右面 下两图所示的情况下, 的方向虽与 的方向 相同,但 ,那么 , 为负值,刚体作减 速转动。角加速度单位为 。图4-26) 3.刚体定轴转动的角动量 如4-27图所示,有一刚体以角速度绕定轴 转动。由于刚体绕定轴转动,刚体上每一个质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动。其中质点对 轴的角动量为 ,于是刚体上所有质点的角动量,即 刚体对定轴 的角动量为? ??? ??? 图4-27 式中 ,为刚体绕 轴的 转动惯量 。于是刚体对定轴 的角动量为 ???????????(4-32) ? .?4. 刚体定轴转动的角动量定理 从式(4-27)可以知道,作用在质点 上的合力矩 应等于质点的角动量随时间的变化率,即 而合力矩 中含有外力作用在质点的力矩 ,即外力矩 ,以及刚体内质点间作用力的力矩,即内力矩 。 对绕定轴 转动的刚体来说,刚体内各质点的内力矩之和应为零,即 。故由上式,可得作用于绕定轴 转动刚体的合外力矩 为 亦可写成 ????????? (4-33) 上式表明,刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于绕此定轴的角动量随时间的变化率。 当J等于常数时,M=J dω/dt=Jα;?对照此式可见,式(4-33)是转动定律的另一表达方式,但其意义更加普遍。即使在绕定轴转动物体的转动惯量因内力作用而发生变化时,式(4-33)仍然成立。这与质点动力学中,牛顿第二定律的表达式 较之 更普遍是一样的。 (2). 对势能概念的进一步讨论 (a)势能是状态的函数。在保守力作用下,只要物体的起始和终了位置确定了,保守力所作的功也就确定了,而与所经过的路径是无关的。所以说,势能是坐标函数,亦即是状态的函数,即 。前面还说过,动能亦是状态的函数, 。 (b)势能的相对性。势能的值与势能零点的选取有关。一般选地面的重力势能为零,引力势能的零点取在无限远处,而水平放置的弹簧处于平衡位置时, 其弹性势能为零。当然,势能零点也可以任意选取,选取不同的势能零点,物体的势能就将具有不同的值。势能可正可负,势能为负只不过表明其势能大小比选作零点的势能小。所以,通常说势能具有相对意义。但也应当注意,任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。 (c)势能是属于系统的。势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。如果没有地球对物体的作用,也就谈不上重力作功和重力势能问题,离开了地球作用范围的宇宙飞船,也就无所谓重力势能。同样, 弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。应当注意,在平常叙述时,常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的,这只是为了叙述上的简便,其实它是属于地球和物体系统的。至于物体的引力势能和弹性势能,也都是这样。 4.2.3 功能原理 Function principle 1.?质点系的动能定理 (1).?质点系的动能定理 设一系统内有个质点,作用于各个质点的力所作的功分别为:、、 、…,使各质点由初动能 、 、…改变为末动能 、 、…,由质点的动能定理式(4-9),可得 以上各式相加,有 ????????? (4-16) 式中 是系统内个质点的初动能之和, 是这些质点的末动能之和, 则是作用在n个质点上的力所作的功之和。因此,上式的物理意义是:作用于质点系的力所作之功,等于该质点系的动能增量。这也叫做质点系的动能定理。 (2).外力作的功与内力作的功 正如前面所说,系统内的质点所受的力,既有来自系统外的力,也有来自系统内各质点间相互作用的内力,因此,作用于质点系的力所作的功 ,应是一切外力对质点系所作的功 与质点系内一切内力所作的功之和 ,即 这样式(4-16)亦可写成 这是质点系动能定理的另一数学表达式,它表明,质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一切内力作的功之和。 (3).质点系的功能原理 a. 质点系的功能原理 前面已经指出,如果按力的特点来区分,作用于质点系的力,有保守力与非保守力之分。无论是外力或者是内力都可以是保守力或非保守力。因此,如以表示质点系内各保守内力作功之和,表示质点系内各非保守内力作功之和,那么,质点系内一切内力所作的功则应为 此外,从式(4-14)已知,系统内保守力作的功等于势能增量的负值,因此,质点系内各内力的保守力所作的功应为 考虑了以上两点,式(4-17)可写为 ?? (4-18) 在力学中,动能和势能统称为机械能。若以和分别代表质点系的初机械能和末机械能,即 那么,式(4-18)可写成 ????????? (4-19) 上式表明,质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和。这就是质点系的功能原理。 例 如图4-14所示,有一自动卸货矿车,满载时的质量为 ,从与水平成倾角 斜面上的A点由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的0.25倍,矿车下滑距离 时,矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。 当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置再装货。试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大? 当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置再装货。试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大? 图4-14 解:取沿斜面向上为x轴正方向。弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O。矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为 ???????? (1) 式中m¢和m分别为矿车满载和空载时的质量,x为弹簧最大被压缩量。 ??? 根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有 由于矿车返回原位时速度为零,故; 而 ,故有 ???????? (2) 由式(1)、(2)可解得 b.质点系的功能原理的讨论 i.功能原理与动能定理无本质区别 功能原理是从动能定理中推得的,无非是用势能代替内保守力的功,两者无本质区别。但这在对能量的认识上进了一步,我们又引入了机械能——动能和势能之和,这是力学中所涉及的能量的一种形式,引入机械能更能从“能”的角度来讨论问题。另外,用功能原理在计算上更为简单,因为势能比内保守力的功易于计算。但这需注意,应用功能原理,右边为 机械能的增量,左边是外力和非保守内力的功。而用动能定理,右边是动能的增量,左边则是外力、内保守力、非保守内力的功。不要在应用功能原理时,把势能增量和内保守力的功重复计算进去。 ii.功是能量变化的量度 功能原理指出,机械能的增量用外力和非保守内力的功来量度;动能定理指出动能的增量用外力和一切内力的功来量度;而势能的增量用内保守力的功来量度。其实质均是用功来量度能量的变化,这使我们更理解了“功”这个概念——功是能量变化的量度。 4.2.4 机械能守恒定律 Conservation law of Mechanical energy 1.?机械能守恒定律 从质点系的功能原理式(4-19)可以看出, 当 时,有 ????????? (4-20a) 即? ? ? ????????? (4-20b) 它的物理意义是:当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时,质点系的总机械能是守恒的。这就是机械能守恒定律。 ??? 机械能守恒定律的数学表达式(4-20)还可以写成 即???? ?????????? (4-21) 上式指出,在满足机械能守恒的条件( )下,质点系内的动能和势能都不是不变的,两者之间可以相互转换,但动能和势能之和却是不变的,所以说,在机械能守恒定律中,机械能是不变量或守恒量。而质点系内的动能和势能之间的转换则是通过质点系内的保守力作功( )来实现的。 例 如图4-15所示,和两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为M1和M2。问在板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使在跳起来时稍被提起。(设弹簧的劲度系数为k) 分析:选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件。只需取状态1和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出。 解:选取如图所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点。作各状态下物体的受力图。对A板而言,当施以外力F时,根据受力平衡有 ????? (1) 当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得 式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移。 因为 及 ,上式可写为 由式(1)、(2)可得 ????????? (3) 当A板跳到N点时,B板刚被提起,此时弹性力 ,且 。 由式(3)可得 ? ? 应注意势能的零点位置是可以任意选取的。为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点。 ? 2.能量守恒定律 ? 在长期的生产斗争和科学实验中,人们总结出一条重要的结论:对于一个与自然界无任何联系的系统来说,系统内各种形式的能量是可以相互转换的,但是不论如何转换,能量既不能产生,也不能消灭。这一结论叫做能量守恒定律,它是自然界的基本定律之一。能量是这一守恒定律的不变量或守恒量,在能量守恒定律中,系统的能量是不变的,但能量的各种形式之间却可以相互转化。例如机械能、电能、热 能、光能以及分子、原子、原子核能等等能量之间都可以相互转换。应当指出,在能量转换的过程中 ,能量的变化常用功来量度。在机械运动范围内,功是机械能变化的唯一量度。但是,不能把功与能量等同起来,功是和能量变换过程联系在一起的,而能量则只和系统的状态有关,是系统状态的函数 。 4.3 碰撞问题 Collision question 4.3.1 碰撞分类 The collision classifies 所谓碰撞是指两个或者两个以上的物体,在相遇过程中,物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间。例如,两个钢球的碰撞,持续时间仅10-4 S。 一般地,碰撞所指的现象比较广泛,除了球的撞击、打击、锻压,以及分子、原子或原于核等微观粒子之间的相互作用过程外,像人从车上跳下、子弹打人墙壁等现象,也可以作为碰撞处理。 两个球形物体的碰撞是一个典型示例。通常,我们将两个球体碰撞前后的速度均在球心连线上的一类碰撞,称为对心碰撞(或正碰撞)。下面我们分析两个球体的对心碰撞过程。 设两个质量是m1和m 2的球体,碰撞前的速度分别为v10和V20,且v10>V20 。当第一个球追上第二个球后,二者相互挤压,后球推动前球使其加速,前球阻挡后球使其减速,直到两球速度相等,形变达到最大,这是碰撞过程的压缩阶段;此后开始恢复阶段,后球以弹性力作用于前球使其进一步加速,前球以弹性力作用于后球使其进一步减速,直到分开,如图4-16所示。 图4-16 1.完全弹性碰撞 如果碰撞后两个球体能够完全恢复原来状态,即在恢复阶段,系统按相反的次序经历了压缩阶段的所有状态,这一类碰撞称为完全弹性碰撞。 ? 2.非弹性碰撞 ? 如果碰撞后两个球体并不能完全恢复原来状态,即在恢复阶段,系统不能按照相反次序经历压缩阶段的所有状态,这一类碰撞称为非弹性碰撞。一般的碰撞均属于这一类。 ? 2.完全非弹性碰撞 ? 在碰撞过程中,如果只有压缩阶段而不存在恢复阶段,即碰撞后两球连为一体,这一类碰撞称为完全非弹性碰撞。 4.3.2 恢复系数 Restores the coefficient 关于对心碰撞,碰撞后两球的分离速度(V2-V1)与碰撞前两球的接近速度(V10-V20)的比值由两球的材质决定。其数学表达式为 (4-22) 式中,e称为恢复系数,它满足o≤e≤1。显然,当e=1时,碰撞后两球的分离速度等于碰撞前两球的接近速度,两球作完全弹性碰撞;当e=0时,碰撞后两球以相同速度运动,并不分开,两球作完全非弹性碰撞。一般情况下,o≤e≤1,两球作非弹性碰撞。 如在完全弹性碰撞过程中 可得碰撞后两球的速度为 在碰撞前后系统动能的增量为 此式说明,在完全弹性碰撞前后,系统的动能守恒。事实上,完全弹性碰撞过程符合机械能守恒定律:在压缩阶段,物体相互作功,使其动能的一部分转换为势能;在恢复阶段,势能再转换成动能。 例 如图4-17所示,质量为、速度为的钢球,射向质量为的靶,靶中心有一小 孔,内有劲度系数为的弹簧,此靶最初处于静止状态,但可在水平面上作无摩擦滑动,求子弹射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离。 解:以小球与靶组成系统, 设弹簧的最大压缩量为x0, 小球与靶共同运动的 速率为v1。由动量守 恒定律,有 图4-17 ????????? (1) 又由机械能守恒定律,有 ????????? (2) 由式(1)、(2)可得 所以: 即: 这就是当t0→t时刻,火箭的质量从M0→M时火箭的速度公式。 第三步:要求火箭在全部燃料用完时的速度。 如果设火箭开始飞行时速度为零(v0=0),燃料用尽时质量为M,那么根据上式解得火箭能够达到的速度为: (4-16) 式中 称为火箭的质量比。 要把航天器发射上天,则火箭获得的速度至少要大于第一宇宙速度。若要使航天器离开地球到达其他行星或脱离太阳系到其他星系,则火箭获得的速度应分别大于第二宇宙速度和第三宇宙速度。但是按计算可得一级火箭的速度是Vf≈10.8(千米/秒),由于此式导出时未计入地球引力和空气摩擦力产生的影响,加上各种技术的原因,单级火箭的末速度Vf将小于第一宇宙速度V1=7.9千米/秒;这就是说,单级火箭并不能把航天器送上天。运载火箭通常为多级火箭,多级火箭是用多个单级火箭经串联、并联或串并联组合而成的一个飞行整体。图4-5是串联式三级火箭的示意图。图4-6是中国“长征”号运载火箭的部位安排。 图4-5多级火箭 图4-6 4.2 能量守恒 energy conservation 4.2.1 功、质点的动能定理 Meritorious、particle kinetic energy theorem 1.功 在历史上,功的概念是在使用简单机械的生产经验基础上逐步发展为科学概念的。人们在从事推车、提水等劳动时,都用力操作,并完成一定的工作量。那时把“工作”认为“作功”,凡用力的操作都称为作功。尔后,又逐步认识到,在工作过程中,总在力在作用,而且物体总要发生一定的位移。作用力和位移越大,完成的工作量就越多。这些感性知识,通过总结反映到物理学中,从而形成了功的科学概念。 如有一质点在力的作用下,沿图4-7所示的路径运动。设在时刻、质点位于,经过时间间隔,质点的位移为。力与质点位移之间的夹角为。在物理学中,功的定义是:力对质点所作的功为力在质点位移方向的分矢量与位移大小的乘积。按此定义,该力所作的元功为 (4-7a) 从上式可以看出,当90o>θ>0o时,功为正值,即力对质点作正功;当90o<θ≤180o时,功为负值,即力对质点作了负功。由于力 与位移 均为矢量,从矢量的标积定义知,上式等号右边 为 与标积,即 (4-17) 图(4-17) 质点由点运动到点,在这过程中作用质点上的力的大小和方向都可能在改变。为求得在这过程中变力所作的功。我们把路径分成很多段的多个位移元,使得在这些位移元内,力可近似地看成是不变的。于是,质点从点移到点时,变力所作的功应等于力在每段位移元上所作元功的代数和,即 (4-8) 上式是变力作功的表达式。 图4-8 功常用图示法来计算。如图4-8所示,图中的曲线表示 随路径变化的函数关系。曲线下面的面积等于变力作功的代数值。 在直角坐标系中,和 都是坐标X、Y、Z的函数,即 和???? ? 因此式(4-8)亦可写成 2.质点的动能定理 (1). 质点的动能定理 力对物体作功,则要使物体的运动状态发生变化。它们之间的关系如何呢? 如图4-9所示, 一质量为的质点在合外力作用下,自点沿曲线移动到点。它在点和点的速率分别为。设作用在位移元上的合外力与之间的夹角为 由式(4-7)可得,合外力对质点所作的元功为 ?? ???? (4-9) 由牛顿第二定律及切向加速度的定义,有 ?? 故可得 于是,质点自点移动至点这一过程中,合外力所作的总功为 ???????????? (4-9a) 我们把 叫做质点的动能,用 表示, 即????? 这样, 和 分别表示质点在起始和终了位置时的动能。式(4-9a)可写成 (4-9b) 上式表明,合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量。这个结论就叫做质点的动能定理。 称为初动能,而 称为末动能。 (2).关于质点的动能定理几点说明? a.功与动能之间的联系和区别。只有合外力对质点作功,才能使质点的动能发生变化。功是能量变化的量度,功是与在外力作用下质点的位置移动过程相联系的,故功是一个过程量。而质点的运动状态一旦确定,即m、v确定,则动能就唯一地确定。故动能是决定于质点的运动状态的,它是运动状态的函数。 b.功和动能与参考系有关。与牛顿第二定律一样,动能定理也适用于惯性系。此外,在不同的惯性系中,质点的位移和速度是不同的,因此,功和动能依赖于惯性系的选择。 c.功和动能是标量。 ? 例一物体在介质中按规律 作直线运动,为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由 运动到 时,阻力所作的功。(已知阻力系数为 ) 解:由运动学方程 ,可得物体的速度 按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为 则阻力的功为 例一质量为 的球,系在长 为的细绳上,细绳的另一端系在天花板上。 把小球移至使细绳与竖直方向成角的位置,然后由静止放开。求:(1)在绳索从角到角的过程中,重力和张力所作的功;(2)物体在最低位置时的动能和速率;(3)在最低位置时的张力。 解:(1)如图4-10所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关, 即 在小球摆动过程中,张力FT的方向总是与运方向垂直, 所以张力的功 (2)根据动能定理,小球摆动 过程中,其动能的增量是由于重 力对它作功的结果。初始时动能 为零,因而,在最低位置时的动 能为 小球在最低位置时的速率为 ?? 图4-10 (3)当小球在最低位置时,由牛顿定律可得 ??????????? 4.2.2 保守力与非保守力 势能 Conservative strength and non- conservative strength potential energy 1.?万有引力、重力、弹性力作功的特点 (1).万有引力作功 图4-11 如图4-11所示,有两个质量为的质点,其中质点固定不动。取的位置为坐标原点,、两点对的距离分别为经任一路径由点运动到点,万有引力作的功为?: 设在某一时刻质点距质点的距离为,其位矢为,这时质点受到质点的万有引力为 为沿位矢的单位矢量,当沿路径移动位移元时,万有引力作的功为 从图可以看出 于是,上式为 所以,质点从点沿任一路径到达点的过程中,万有引力作的功为 (4-10) ?? 上式表明,当质点的质量均给定时,万有引力作的功只取决于质点的起始和终了的位置,而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 上式表明,当质点的质量均给定时,万有引力作的功只取决于质点的起始和终了的位置,而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 (2)?.重力作功 如图4-12所示,一个质量为的质点,在重力作用下从A点沿 路径至点B,点A和点B距地面的高度分别为 ,因为 质点运动的路径 为一曲线, 所以重力和质点运动方向之 间的夹角是不断变化的。我们 把路径 分成许多位移元, 在位移元 中,重力 所作的功 图4-12 若质点在平面内运动,按图所选坐标,并取地面上某一点为坐标原点O,有 且 。于是,前式为 质点由A点移至B点的过程中,重力作的总功为 即??????????????????????? (4-11) 上式表明,重力作功只与质点的起始和终了位置有关,而与所经过的路径无关,这是重力作功的一个重要特点。 (3). 弹性力作功 图4-13所示是一放置在光滑平面上的弹簧,弹簧的一端固定,另一端与一质量为m的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时,它将不发生形变,此时物体位于点(即位于处x=0),这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置为坐标原点,向右为 轴正向。弹簧伸长量由 变到 时,弹性力对物体的作的功为: 若物体受到沿 轴正向的外力 作用,弹簧将沿轴 正向被拉长,弹簧的伸长量即其位移为 。根据胡克定律,在弹性限度内,弹簧的弹性力 与弹簧的伸长量X之间的关系为 式中称为弹簧的劲度系数K。在弹簧被拉长的过程中,弹性力F是变力。但弹簧位移 为时的弹性力可近似看成是不变的。于是,弹簧位移为 时,弹性力作的元功为 有?????????????????????????? 这样,弹簧的伸长量由 时,弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得 计算弹性力对物体的作的功为 ????????? (4-12) 式中为弹簧的劲度系数。 图4-13 从式(4-12)可以看出,对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说,弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置(X1和 X2)决定,而与弹性形变的过程无关。 2.? 保守力与非保守力 ? 从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出,它们所作的功只与物体(或弹簧)的始、末位置有关,而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外,电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力。 ???保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示:物体沿任意闭合路径运动一周时,保守力对它作功为零,即 ???????? (4-13) 式(4-13)是反映保守力作功特点的数学表达式。 ????然而,在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点,例如常见的摩擦力,它所作的功就与路径有关,路径越长,摩擦力作的功也越大。显然,摩擦力就不具有保守力作功的特点。 3、势能 (1).势能的定义 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中,我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关,为此,可以引入一物理量,它是位置的函数,并使这个函数在始末位置的增量恰好决定于保守力的功,这个位置函数就是我们要引人的势能。把与物体位置有关的能量称作物体的势能,用符号 表示。 ? ????(4-14) ????即保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。 于是,三种势能分别为 重力势能????????????? ? 引力势能????????????? ???????????(4-15) 弹性势能????????????? ? 景德镇高专物理系 景德镇高专物理系 第4章 守恒定律 The conservation law 本章要点: 1.冲量 、动量定理、动量守恒定律及应用; 2.功、动能定理、功能原理、机械能守恒定律及应用; 3.动量守恒定律及机械能守恒定律在碰撞问题中的应用; 4.力矩、角动量、角动量守恒定律及应用; 5.对称性与守恒定律。 动量守恒和能量守恒以及角动量守恒不仅是力学也是物理学中各种运动所遵循的普遍规律,本章介绍动量、能量、角动量等重要概念,以及相应的守恒定律及其应用。 4.1 动量守恒 Conservation law of momentum 4.1.1 质点和质点系的动量定理 Particle and particle system conservation law of momentum 1.冲量 质点的动量定理 ? 由牛顿第二定律得 上式的积分为 ????????? (4-1) 式中 和 是质点在时刻的速度和动量, 和 是质点在 时刻的速度和动量。 为力对时间的积分,称为力的 冲量,用符号I表示。 式(4-1)的物理意义是:在给定时间间隔内,外力作用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量的增量。这就是质点的动量定理。 式(4-1)是质点动量定理的矢量表达式,在直角坐标系中,其分量式为 (4-2) 显然,质点在某一轴线上的动量增量,仅与该质点在此轴线上的受的外力的冲量有关。 动量比速度能更恰当地反映物体的运动状态。 2.质点系的动量定理 如图4-1所示,在系统S内有两个质点1和2,它们的质量分别为 和 .系统外的质点对它们作用的力叫做外力,系统内质点间的相互作用力则叫内力。设作用在质点上的外力分别是 和 ,而两质点相互作用的内力分别为 和 根据质点的动量定理,在时间 内,两质点所受力的冲量和动量增量分别为 图4-1 和?????????? 将上两式相加,有 由牛顿第三定律知 ,所以系统内两质点间的内力之和 ,故上式为 上式表明,作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量,亦即系统的动量增量。 上述结论容易推广到由个质点所组成的系统。如果系统内含有个质点,那么式(4-3)可改写成 考虑到内力总是成对出现,且大小相等、方向相反,故其矢量和必为零,即? 设作用于系统的合外力用表示,且系统的初动量和末动量各为和,那么上式可改写为 ? ????????? (4-4a) 或 ????????? (4-4b) 式(4-4)表明,作用于系统的合外力的冲量于系统动量的增量。这就是质点系的动量定理。 对于在无限小的时间间隔内,质点系的动量定理可写成 ?????????? ????????? (4-4c) 上式表明,作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。 例 质量为的物体,由水平面上点以初速为抛出,与水平面成仰角。若不计空气阻力,求:(1)物体从发射点到最高点的过程中,重力的冲量;(2)物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量。 图4-2 分析:重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可。由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间 , 物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍。这样,按冲量的定义即可求出结果。 另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出。 解1:物体从出发到达最高点所需的时间为 则物体落回地面的时间为 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 解2:根据动量定理,物体由发射点O运动到A、B的过程中,重力的冲量分别为 4.1.2????? 动量守恒定律 Conservation law of momentum 1.? 动量守恒定律 动量守恒定律,是最早发现的一条守恒定律,它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想,法国哲学家兼数学、物理学家笛卡儿,对这一定律的发现做出了重要贡献。 观察周围运动着的物体,我们看到它们中的大多数终归会停下来。整个宇宙是不是也像一架机器那样,总有一天会停下来呢?但是,千百年对天体运动的观测,并没有发现宇宙运动有减少的现象,十六、七世纪的许多哲学家都认为,宇宙间运动的总量是不会减少的,只要我们能够找到一个合适的物理量来量度运动,就会看到运动的总量是守恒的,那么,这个合适的物理量到底是什么呢? 法国的哲学家笛卡儿曾经提出,质量和速率的乘积是一个合适的物理量。但速率是个没有方向的标量。后来,牛顿把笛卡儿的定义略作修改,即不用质量和速率的乘积,而用质量和速度的乘积,这样就得到量度运动的一个合适的物理量,这个量牛顿叫做“运动量”,现在我们叫做动量,笛卡几由于忽略了动量的矢量性而没有找到量度运动的合适的物理量,但他的工作给后来的人继续探索打下了很好的基础。 从式(4-4)可以看出,当系统所受合外力为零,即时,系统的总动量的增量亦为零,即。这时系统的总动量保持不变,即??????????? ??? 恒矢量????????? (4-5a) 这就是动量守恒定律,它的表述为:当系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不变,式(4-5a)是动量守恒定律的矢量式。在直角坐标系中,其分量式为 …… (4-5b) 式中 、 和 均为恒量。 2.几点说明: (1)动量是与惯性系选取有关的物理量,因此在计算系统动量时,各质点的动量必须取同一个惯性系;(2)当系统所受合外力不为零时,虽然不满足动量守恒条件,但由于垂直合外力方向上系统受力为零,故系统动量在该方向的分量将保持不变;(3)在某些碰撞问题中,出于外力远远小于内力,因而外力可以忽略不计,此时仍然可以应用动量守恒定律解决问题; (4)动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。 动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律的牛顿运动定律导出的,但近代的科学实验和理论分析都表明:在自然界中,大到天体间的相互作用,小到质子、中子、电子等微观粒子间的相互作用都遵守动量守恒定律;而在原子、原子核等微观领域中,牛顿运动定律却是不适用的。因此,动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本,它与能量守恒定律一样,是自然界中最普遍、最基本的定律之一。 ? (5)动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立。因此运用它们来求解问题时,要选 定一惯性系作为参考系。 ?例 ?设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向相互垂直,且电子的动量的值为 ,中微子的动量的值为 。问新的原子核的动量的值和方向如何? 图4-3 解: 0?以 、 和 分别代表电子、中微子和新原子核的动量,且 与 相互垂直( 上图所示)。在原子核衰变的短暂时间内,粒子间的内力大于外界作用于该粒子系统上的外力。故粒子系统在衰变前后的动量是守恒的。考虑到原子核在衰变前是静止的,所以衰变后电子、中微子和新原子核的动量之和亦应为零,即 由于 与 垂直,有 代入已知数据,得 图中的 角为 或者新原子核的动量与中微子动量之间的夹角为 或者新原子核的动量 与中微子动量 之间的夹角为 例 质量为的人手里拿着一个质量为的物体,此人用与水平面成角的速率向前跳去。当他达到最高点时,他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出。问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点) 图4-4 解:取如图所示坐标。把人与物体视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物过程中,满足动量守恒,故有 式中v为人抛物后相对地面的水平速度,v-u为抛出物对地面的水平速度。得 人的水平速度的增量为 而人从最高点到地面的运动时间为 所以,人跳跃后增加的距离 4.1.3 火箭飞行原理 the principle of rocket fly 在火箭(rocket)发射过程中,燃料不断燃烧变成热气体,并以高速从火箭尾部向后喷出,因而推动火箭向前作加速运动。 设火箭在外层空间飞行,火箭在t0 时刻的速度为v0,火箭(包括燃料)的总质量为M0,热气体相对火箭的喷射速度为u 。 随着燃料消耗,火箭质量不断减少,火箭速度不断加快,当燃料用尽后的火箭质量为M,此时火箭所获得的速度v是多少呢?下面具体计算。 第一步:讨论在任意时刻火箭飞行情况,选取某一时刻t和t+△t时刻的火箭原质量m,喷出的质量dm和喷出气体后火箭质量(m-dm)为研究对象,分析此系统的运动情况。 ?设某一时刻t,火箭质量为m,相对地面速度为v; 在t + △t时间,火箭喷出的质量为dm(dm是质量m在dt时间内所喷出的质量)的气体。喷出的气体相对火箭的速度为u,方向与v相反; 选择火箭和喷气所组成的部分为系统: 喷气前:总动量为mv; 喷气后:火箭动量(m-dm)(v+dv) 喷出的气的动量dm(v+dv-u); 忽略空气阻力和重力,系统动量守恒。 第二步:应用动量守恒列式: mv=(m-dm)(v+dv)+dm(v+dv-u) 忽略高阶无穷小,并整理后得mdv+udm=0,即: 对上式两边积分,t0→t时间,其速度变化为v0→v,其质量由M0变化为M,于是有: 景德镇高专物理系 景德镇高专物理系

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